| Quadratwurzeln | ||
| Liste der Quadratwurzeln bis √1.023 | ||
| Kettenbrüche der Periodenlänge 1 und 2 | ||
| (1) | √(n² + 1) = [n;2n] | Beweis |
| (2) | √(n² + 2) = [n;n,2n] | Beweis |
| (3) | √(n² + n) = [n;2,2n] | Beweis |
| (4) | √(n² + 2n) = √((n + 1)² - 1) = [n;1,2n] | Beweis |
| (5) | Es gibt für jede Gruppe mindestens vier Kettenbrüche der Periode 2, wobei [n;2n] = [n;2n,2n]. Dabei durchläuft das erste Glied der Periode alle Teiler von 2n in absteigender Reihenfolge. Die Differenzen von √d zu n² durchlaufen alle Teiler in aufsteigender Reihenfolge. Ist n eine Prim- zahl, so hat 2n die vier Teiler {1,2,n,2n}. | Beispiele |
| (6) | Ist das erste Glied des Kettenbruches ein Teiler von 2n, so ergeben sich „ganzzahlige“ Quadratwurzeln; ist es kein Teiler, so ergeben sich „rationale“ Quadratwurzeln. Für den Nenner gilt dabei oftmals d/ggT(d,2n). Aber nicht immer (siehe [5;9,10])! | Beispiele Beweis |
| Kettenbrüche der Periodenlänge 3 | ||
| (7) | Für Kettenbrüche der Form [d;2,2,2d] gilt d=5a+1. Die Zahl hat die Form n² + n - a und der Abstand zur Quadratzahl beträgt 4a+1. Für Kettenbrüche der Form [d;4,4,2d] gilt d=17a+2. Die Zahl hat die Form n² + n - (9a + 1) und der Abstand zur Quadratzahl beträgt 8a+1. Für weitere Beobachtungen benötige ich erst eine breitere Datenbasis. | Beispiele |
| Kettenbrüche der Periodenlänge 4 | ||
| (8) | √(n² + 2n - 1) = √((n + 1)² - 2) = [n;1,n-1,1,2n]; n>1 |
Beispiele Beweis |
Fehlerhinweise, Kommentare und Anregungen sind mir herzlich willkommen.
Last Update: 2012-08-15