Kettenbruch-Entwicklung für √14

Das Beispiel orientiert sich an dem Verfahren, das in Beispiel 14.6 im „Handbuch der elementaren Zahlentheorie“ von Burton/Dalkowski auf­geführt ist. Der Kniff der Rechnung liegt neben der Verwendung der binomischen Formel a² - b² = (a + b)(a - b) in der immerwährenden Erweiterung von √14 durch 3 + (√14 - 3), wobei 3 hier für die nächstkleinere Quadratzahl √9 steht. Das ermöglicht durch Umformung das jeweilige Glied des Kettenbruchs zu isolieren.
√14 = 3 + (√14 - 3)                                                                                                              a0 = 3
    1           1       (√14 + 3)   (√14 + 3)   3 + (√14 - 3) + 3   5   1 + (√14 - 3)       (√14 - 2)
--------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + ------------- = 1 + ---------                            a1 = 1
(√14 - 3)   (√14 - 3)   (√14 + 3)       5               5           5         5                 5
    5           5       (√14 + 2)   (√14 + 2)   3 + (√14 - 3) + 2   4   1 + (√14 - 3)       (√14 - 2)
--------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + ------------- = 2 + ---------                            a2 = 2
(√14 - 2)   (√14 - 2)   (√14 + 2)       2               2           2         2                 2
    2           2       (√14 + 2)   (√14 + 2)   3 + (√14 - 3) + 2   5   1 + (√14 - 3)       (√14 - 3)
--------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + ------------- = 1 + ---------                            a3 = 1
(√14 - 2)   (√14 - 2)   (√14 + 2)       5               5           5         5                 5
    5           5       (√14 + 3)   (√14 + 3)   3 + (√14 - 3) + 3   6   (√14 - 3)       (√14 - 3)
--------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + --------- = 6 + ---------                                a4 = 6
(√14 - 3)   (√14 - 3)   (√14 + 3)       1               1           1       1               1
Da a5 = a1 folgt √14 = [3;1,2,1,6] oder ausgeschrieben

                     1
√14 = 3 + -----------------------
                       1
          1 + -------------------
                         1
              2 + ---------------
                           1
                  1 + -----------
                             1
                      6 + -------
                              1
                          1 + - …
                              2
√14 ≈ 3,741 657

Konvergenten:

p0  = 3                           q0  = 1                       C0  =     3/1        3,000 000
p1  = 1×    3 +     1 =     4     q1  = 1                       C1  =     4/1        4,000 000
p2  = 2×    4 +     3 =    11     q2  = 2×  1 +   1 =     3     C2  =    11/3        3,666 667
p3  = 1×   11 +     4 =    15     q3  = 1×  3 +   1 =     4     C3  =    15/4        3,750 000
p4  = 6×   15 +    11 =   101     q4  = 6×  4 +   3 =    27     C4  =   101/27       3,740 741
p5  = 1×  101 +    15 =   116     q5  = 1× 27 +   4 =    31     C5  =   116/31       3,741 935
p6  = 2×  116 +   101 =   333     q6  = 2× 31 +  27 =    89     C6  =   333/89       3,741 573
p7  = 1×  333 +   116 =   449     q7  = 1× 89 +  31 =   120     C7  =   449/120      3,741 667
p8  = 6×  449 +   333 = 3.027     q8  = 6×120 +  89 =   809     C8  = 3.027/809      3,741 656
p9  = 1×3.027 +   449 = 3.476     q9  = 1×809 + 120 =   929     C9  = 3.476/929      3,741 658
p10 = 2×3.476 + 3.027 = 9.979     q10 = 2×929 + 809 = 2.667     C10 = 9.979/2.667    3,741 657

Fehlerhinweise, Kommentare und Anregungen sind mir herzlich willkommen.

Last Update: 2012-08-15