Das Beispiel orientiert sich an dem Verfahren, das in Beispiel 14.6 im Handbuch der elementaren Zahlentheorie von Burton/Dalkowski aufgeführt ist. Der Kniff der Rechnung liegt neben der Verwendung der binomischen Formel a² - b² = (a + b)(a - b) in der immerwährenden Erweiterung von √14 durch 3 + (√14 - 3), wobei 3 hier für die nächstkleinere Quadratzahl √9 steht. Das ermöglicht durch Umformung das jeweilige Glied des Kettenbruchs zu isolieren. |
√14 = 3 + (√14 - 3) a0 = 3 |
1 1 (√14 + 3) (√14 + 3) 3 + (√14 - 3) + 3 5 1 + (√14 - 3) (√14 - 2) --------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + ------------- = 1 + --------- a1 = 1 (√14 - 3) (√14 - 3) (√14 + 3) 5 5 5 5 5 |
5 5 (√14 + 2) (√14 + 2) 3 + (√14 - 3) + 2 4 1 + (√14 - 3) (√14 - 2) --------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + ------------- = 2 + --------- a2 = 2 (√14 - 2) (√14 - 2) (√14 + 2) 2 2 2 2 2 |
2 2 (√14 + 2) (√14 + 2) 3 + (√14 - 3) + 2 5 1 + (√14 - 3) (√14 - 3) --------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + ------------- = 1 + --------- a3 = 1 (√14 - 2) (√14 - 2) (√14 + 2) 5 5 5 5 5 |
5 5 (√14 + 3) (√14 + 3) 3 + (√14 - 3) + 3 6 (√14 - 3) (√14 - 3) --------- = --------- × --------- = --------- = ----------------- = - + --------- = 6 + --------- a4 = 6 (√14 - 3) (√14 - 3) (√14 + 3) 1 1 1 1 1 |
Da a5 = a1 folgt √14 = [3;1,2,1,6] oder ausgeschrieben 1 √14 = 3 + ----------------------- 1 1 + ------------------- 1 2 + --------------- 1 1 + ----------- 1 6 + ------- 1 1 + - … 2 |
√14 ≈ 3,741 657 Konvergenten: p0 = 3 q0 = 1 C0 = 3/1 3,000 000 p1 = 1× 3 + 1 = 4 q1 = 1 C1 = 4/1 4,000 000 p2 = 2× 4 + 3 = 11 q2 = 2× 1 + 1 = 3 C2 = 11/3 3,666 667 p3 = 1× 11 + 4 = 15 q3 = 1× 3 + 1 = 4 C3 = 15/4 3,750 000 p4 = 6× 15 + 11 = 101 q4 = 6× 4 + 3 = 27 C4 = 101/27 3,740 741 p5 = 1× 101 + 15 = 116 q5 = 1× 27 + 4 = 31 C5 = 116/31 3,741 935 p6 = 2× 116 + 101 = 333 q6 = 2× 31 + 27 = 89 C6 = 333/89 3,741 573 p7 = 1× 333 + 116 = 449 q7 = 1× 89 + 31 = 120 C7 = 449/120 3,741 667 p8 = 6× 449 + 333 = 3.027 q8 = 6×120 + 89 = 809 C8 = 3.027/809 3,741 656 p9 = 1×3.027 + 449 = 3.476 q9 = 1×809 + 120 = 929 C9 = 3.476/929 3,741 658 p10 = 2×3.476 + 3.027 = 9.979 q10 = 2×929 + 809 = 2.667 C10 = 9.979/2.667 3,741 657 |
Fehlerhinweise, Kommentare und Anregungen sind mir herzlich willkommen.
Last Update: 2012-08-15