Die nachfolgende Berechnung orientiert sich am Beispiel 14.5 aus dem Handbuch der elementaren Zahlentheorie von David M. Burton und Heinz Dalkowski. Um die Irrationalzahl für den unendlichen Kettenbruch X = [x₀;a₀,a₁] zu bestimmen, schreiben wir X = [x₀;Y] mit Y = [a₀;a₁] = [a₀;a₁,Y] |
Umformung des periodischen Teiles
1 Y
Y = [a₀;a₁,Y] = a₀ + ------ = a₀ + -------
1 a₁Y + 1
a₁ + -
Y
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Lösung der quadratischen Gleichung
Y(a₁Y + 1) = a₀(a₁Y + 1) + Y
a₁Y² + Y = a₀a₁Y + a₀ + Y
a₁Y² - a₀a₁Y - a₀ = 0
a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)
L = ------------------------
2a₁
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Einsetzen der Lösung in den Kettenbruch
2a₁
[x₀; L] = x₀ + ------------------------
a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)
x₀(a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)) + 2a₁ a₀a₁ - √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)
= ---------------------------------- × -------------------------
a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) a₀a₁ - √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)
(a₀a₁x₀ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)x₀ + 2a₁)(a₀a₁ - √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)
= -------------------------------------------------------------
a₀²a₁² - a₀²a₁² - 4a₀a₁
x₀a₀²a₁² + 2a₀a₁² - 2a₀a₁√(a₀²a₁² + 4a₀a₁) - x₀(a₀²a₁² + 4a₀a₁)
= ---------------------------------------------------------------
-4a₀a₁
√(a₀²a₁² + 4a₀a₁) - a₀a₁
= x₀ + ------------------------
2a₀
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Fehlerhinweise, Kommentare und Anregungen sind mir herzlich willkommen.
Last Update: 2012-08-15