Die nachfolgende Berechnung orientiert sich am Beispiel 14.5 aus dem Handbuch der elementaren Zahlentheorie von David M. Burton und Heinz Dalkowski. Um die Irrationalzahl für den unendlichen Kettenbruch X = [x₀;a₀,a₁] zu bestimmen, schreiben wir X = [x₀;Y] mit Y = [a₀;a₁] = [a₀;a₁,Y] |
Umformung des periodischen Teiles1 Y Y = [a₀;a₁,Y] = a₀ + ------ = a₀ + ------- 1 a₁Y + 1 a₁ + - Y |
Lösung der quadratischen GleichungY(a₁Y + 1) = a₀(a₁Y + 1) + Y a₁Y² + Y = a₀a₁Y + a₀ + Y a₁Y² - a₀a₁Y - a₀ = 0 a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) L = ------------------------ 2a₁ |
Einsetzen der Lösung in den Kettenbruch2a₁ [x₀; L] = x₀ + ------------------------ a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) x₀(a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)) + 2a₁ a₀a₁ - √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) = ---------------------------------- × ------------------------- a₀a₁ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) a₀a₁ - √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) (a₀a₁x₀ + √(a₀²a₁² + 4a₀a₁)x₀ + 2a₁)(a₀a₁ - √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) = ------------------------------------------------------------- a₀²a₁² - a₀²a₁² - 4a₀a₁ x₀a₀²a₁² + 2a₀a₁² - 2a₀a₁√(a₀²a₁² + 4a₀a₁) - x₀(a₀²a₁² + 4a₀a₁) = --------------------------------------------------------------- -4a₀a₁ √(a₀²a₁² + 4a₀a₁) - a₀a₁ = x₀ + ------------------------ 2a₀ |
Fehlerhinweise, Kommentare und Anregungen sind mir herzlich willkommen.
Last Update: 2012-08-15